Уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

Логарифмические уравнения, примеры решений

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

Логарифмические уравнения. нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма. Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма свойства логарифмической функции, правила вычисления логарифмов. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x: Область . Уравнения, содержащие выражения вида.

Переходим ко второй задаче: Здесь все то же. Переписываем конструкцию, заменяя тройку: Избавляемся от знаков логарифма и получаем иррациональное уравнение: Возводим обе части в квадрат с учетом ограничений и получаем: Вот и все решение. Давайте вернемся в самое начало наших вычислений. Основной вывод из этого урока: Потому что в процессе решения все ограничения выполняются автоматически. Однако это ни в коем случае не означает, что о проверке можно вообще забыть.

В процессе работы над логарифмическим уравнением вполне может перейти в иррациональное, в котором будут свои ограничения и требования к правой части, в чем мы сегодня и убедились на двух различных примерах.

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

Смело решайте такие задачи и будьте особо внимательные, если в аргументе стоит корень. Логарифмические уравнения с разными основаниями Продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем еще два довольно интересных приема, с помощью которых модно решать более сложные конструкции.

Но для начала вспомним, как решаются простейшие задачи: Преобразовывать такие логарифмические уравнения мы будем с помощью канонической формы. Давайте перепишем это выражение следующим образом: В этом случае мы можем, образно говоря, зачеркнуть знаки log, а с точки зрения математики мы можем сказать, что мы просто приравниваем аргументы: Давайте применим это правило к нашим сегодняшним задачам.

Прежде всего, отмечу, что справа стоит дробь, в знаменателе которой находится log. Когда вы видите такое выражение, не лишним будет вспомнить замечательное свойство логарифмов: Переводя на русский язык, это означает, что любой логарифм может быть представлен в виде частного двух логарифмов с любым основанием. В этом случае мы получим конструкцию вида: Именно такую конструкцию мы наблюдаем от знака справа в нашем уравнении.

Давайте заменим эту конструкцию на logab, получим: Другими словами, в сравнении с исходным заданием, мы поменяли местами аргумент и основание логарифма. Взамен нам пришлось перевернуть дробь. Далее осталось привести логарифмы к общему основанию. В этом случае давайте перепишем все наше логарифмическое уравнение: Вспоминаем, что любую степень можно выносить из основания по следующему правилу: Другими словами, коэффициент k, который является степенью основания, выносится как перевернутая дробь.

Давайте вынесем ее как перевернутую дробь: Дробный множитель нельзя оставлять спереди, потому что в этом случае мы не сможем представить данную запись как каноническую форму ведь в канонической форме перед вторым логарифмом никакой дополнительный множитель не стоит.

Теперь мы приравниваем аргументы, основания которых одинаковые а основания у нас действительно одинаковыеи записываем: Мы получили ответ к первому логарифмическому уравнению. Теперь переходим ко второму выражению: Как решать такое уравнение? Неподготовленному ученику может показаться, что это какая-то жесть, но на самом деле все решается элементарно. Внимательно посмотрите на слагаемое lg 2 log2 7. Что мы можем о нем сказать? Основания и аргументы log и lg совпадают, и это должно наводить на некоторые мысли.

Давайте еще раз вспомним, как выносятся степени из-под знака логарифма: Давайте применим эту формулу для выражения lg 2 log2 7.

Уравнения, квадратные относительно логарифма, и прочие нестандартные приемы

Пусть вас не пугает lg 2 — это самое обычное выражение. Можно переписать его следующим образом: В частности, множитель, стоящий спереди, можно внести в степень аргумента. Очень часто ученики в упор не видят это действие, потому что нехорошо вносить один log под знак другого.

На самом деле ничего криминального в этом. Более того, мы получаем формулу, которая легко считается, если помнить важное правило: Эту формулу можно рассматривать и как определение, и как одно из его свойств. В любом случае, если вы преобразуете логарифмическое уравнение, эту формулу вы должны знать точно так же, как и представление любого числа в виде log. Возвращаемся к нашей задаче.

Переписываем его с учетом того факта, что первое слагаемое справа от знака равенства будет равно просто lg 7. Давайте внесем его в аргумент правого lg: Мы решили второе логарифмическое уравнение.

При этом никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходной задаче х присутствовал лишь в одном аргументе.

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

Перечислю еще раз ключевые моменты этого урока. Главная формула, которая изучается во всех уроках на этой странице, посвященной решению логарифмических уравнений — это каноническая форма.

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

И пусть вас не пугает то, что в большинстве школьных учебников вас учат решать подобные задачи по-другому. Данный инструмент работает очень эффективно и позволяет решать гораздо более широкий класс задач, нежели простейшие, которые мы изучали в самом начале нашего урока. Кроме того, для решения логарифмических уравнений полезно будет знать основные свойства.

Решение уравнений, содержащих неизвестную в основании логарифма

Формулу перехода к одному основанию и частный случай, когда мы переворачиваем log это очень пригодилось нам в первой задаче ; Формулу внесения и вынесения степеней из-под знака логарифма. Здесь многие ученики зависают и в упор не видят, что выносимая и вносимая степень сама может содержать log f x. Ничего страшного в этом. Мы можем вносить один log по знак другого и при этом существенно упрощать решение задачи, что мы и наблюдаем во втором случае.

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

В заключении хотел бы добавить, что проверять область определения в каждом из этих случае не требуется, потому что везде переменная х присутствует только в одном знаке log, и при этом находится в его аргументе. Как следствие, все требования области определения выполняются автоматически. Задачи с переменным основанием Сегодня мы рассмотрим логарифмические уравнения, которые для многих учеников кажутся нестандартными, а то и вовсе нерешаемыми.

Речь идет об выражениях, в основании которых стоят не числа, а переменные и даже функции. Решать такие конструкции мы будем с помощью нашего стандартного приема, а именно через каноническую форму. Для начала вспомним, как решаются простейшие задачи, в основании которых стоят обычные числа.

При этом полученные при решении корни и будут корнями исходного логарифмического уравнения. Кроме того, запись, когда и слева, и справа стоит по одному и тому же логарифму с одним и тем же основанием, как раз и называется канонической формой.

Именно к такой записи мы будем пытаться свести сегодняшние конструкции. Та степень, которую мы наблюдаем у аргумента, это, на самом деле то число b, которое стояло справа от знака равенства. Таким образом, перепишем наше выражение. Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения, поэтому мы смело можем приравнять аргументы. Ведь полученная конструкция состоит из функций, которые определены на всей числовой прямой, а наши исходные логарифмы определены не везде и не.

Переходим ко второму аргументу: Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.

  • Глоссарий. Алгебра и геометрия
  • Логарифмические уравнения на примерах
  • Логарифмические уравнения. Начальный уровень.

Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы: Но эти корни еще не являются окончательными ответами.

Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, то есть учет области определения строго обязателен. Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля: И вот тут начинается самое интересное.

уравнения содержащие логарифм под знаком логарифма

Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь? Давайте заметим одну тонкость.

Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство: Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений.

Решение логарифмических уравнений по определению логарифма — урок. Алгебра, 11 класс.

Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Выводы из данного логарифмического уравнения следующие: Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения.

Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает. Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления.