Квадрат под знаком корня

Квадратный корень — Википедия

квадрат под знаком корня

Часто в процессе преобразований или решения уравнений встречаются выражения, содержащие корень под знаком квадратного. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя. . Корень n - ной степени из числа a — это такое число, при возведении которого в n. Квадра́тный ко́рень из числа a {\displaystyle a} a (корень 2-й степени, a {\ displaystyle {\sqrt {a}}} {\sqrt {a}}) — это число x {\displaystyle x} x, дающее a {\ displaystyle a} a при возведении в квадрат. У квадратного корня существуют два противоположных, то есть отличающихся знаком, значения ( положительное.

Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево.

квадрат под знаком корня

Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Разве это что-то даёт!? Предположим, нам нужно извлечь без калькулятора!

Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей Но мы упорные, мы не сдаёмся! Как извлекать корни из больших чисел? Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число и всё Да, произведения здесь. Но если нам надо - мы его сделаем!

Разложим это число на множители. Для начала сообразим, на что делится это число ровно?

квадрат под знаком корня

Идите в Особый разделтема "Дроби"там они. На 3 и на 9 делится это число. Это один из признаков делимости.

квадрат под знаком корня

На три нам делить ни к чему сейчас поймёте, почемуа вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Вот мы и нашли два множителя! Первый - девятка это мы сами выбралиа второй - такой уж получился. С числом поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. А это число мы знаем! Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и - вперёд! Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались?

Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт! Может и не повезти. Скажем, число при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат: Всё равно мы упростили выражение.

В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера может и без упрощения всё посокращаетсяа вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся. Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из сделали? Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание - "вынести множитель из-под знака корня" а мужики-то и не знают Вот вам ещё одно применение свойства корней.

Как вынести множитель из-под корня? Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Важно правильно выбрать множители. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые.

Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Перемножать всё - сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! А теперь давайте обратно, извлечём из результата квадратный корень: Опять всё чудесно, правда? С чего начали, к тому и вернулись! Стало быть, можно записать: Оно и естественно, правда? Возведение в квадрат компенсируется обратной операцией - извлечением квадратного корня.

В общем виде формула выглядит вот так: Во всех учебниках, справочниках и пособиях рядом с такой формулой всегда пишут: В этих словах, которые многие просто пропускают, и кроются главные сложности корней. Потому, что в примерах а частенько бывает отрицательным! Пока и мы будем считать, что а - неотрицательное.

А вот как встретите на этой странице мрачного зайца - вот там и начнётся настоящая работа!

Деление корней. Корень из квадрата. Корень в квадрате. Примеры.

Корень из квадрата извлекается. А если у нас подкоренное выражение не в квадрате, а в другой степени? Приведём нашу степень к квадрату. Теперь по формуле корня из квадрата: Корень из любой чётной степени даст в результате подкоренное выражение в степени, в два раза меньше исходной.

Ну, и так далее. А если степень нечётная?

Квадратный корень. Начальный уровень.

Раскладываем подкоренное выражение на множители - и вперёд! Используем вынесение множителя из-под корня. Но до сего момента мы работали только с неотрицательными числами и выражениями. Как только в игру вступают отрицательные величины, простота куда-то пропадает начисто Вернём эту простоту и ясное понимание. Вот тут и будет мрачный заяц. Концентрируем внимание и собираем весь интеллект в кулак! Итак, откуда в корнях могут появиться отрицательные числа и выражения?

Отрицательные значения даны прямо в задании. Вспоминаем пример корня из квадрата двойки: Здесь всё понятно и.

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ ЧИСЕЛ

А теперь попробуем вычислить: Берём, и просто считаем, безо всяких формул: Так как арифметический квадратный корень а в школе мы работаем только с такими! А если бы мы использовали формулу: Не работает эта формула для отрицательных значений. Для того, чтобы формула корня из квадрата работала для всех значений а, она записывается вот так: Это и есть последнее, третье свойство корней. Третья ножка для табурета.

Квадратный корень

Здесь появляется страшный значок для старшеклассников. Если вы пока не сильны в раскрытии модулей, не волнуйтесь.

Преобразование алгебраических выражений #1

Здесь он означает лишь то, что при любом знаке а, результат извлечения корня из квадрата будет всегда неотрицательный.

Модуль просто отсекает минусы: Отрицательные значения спрятаны в буквах и дополнительных условиях. Например, требуется упростить выражение: Казалось бы, ответ прост.

Но зачем тогда дополнительная информация?! Минус два, или минус тридцать, там Но корень квадратный отрицательным быть не может! Это будет точно х, но он должен быть с плюсом! А мы его сделаем! Если перед заведомо отрицательным числом, поставить минус, это число станет, число станет И верное решение выглядит. Собственно, это и есть главная трудность в работе с корнями.

В отличие от более простых разделов математики, здесь правильный ответ частенько не вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение. И как справляться со всем разнообразием заданий с корнями?

квадрат под знаком корня

А есть ещё иррациональные уравнения и неравенства, где эти пунктики играют главную роль Главный практический совет по работе с квадратными корнями. В любом задании с квадратными корнями лично контролируйте знаки подкоренного выражения и результата извлечения корня. Прикидывайте, и оценивайте ситуацию, исходя из внешнего вида примера и всех дополнительных условий задания. Если под знаком корня - минус, дальше можно не решать.

Выражение не имеет смысла. Что нам делать нечего, бессмысленные выражения решать?! Если под корнем всё нормально, плюс, а в результате извлечения получается заведомый минус - сделайте из него плюс! Этого требуют правила действий с квадратными корнями. Ну вот, основные тонкости корней мы разобрали. Теперь об одной ошибке, рассказать про которую я обещал в предыдущем уроке. Эта ошибка ничего общего с тонкостями не имеет! Это абсолютно тупой косяк, о котором и говорить-то неловко.

Слишком часто он встречается Все свойства корней связаны с умножением-делением. И ни одного - со сложением-вычитанием! На сложение-вычитание корней - не существует специальных формул! И не самый трудный народ Хотя одинаковые корни можно, конечно, складывать-вычитать. Как приводить подобные с буквами. Но эти действия к специфическим свойствам корней не имеют никакого отношения. А теперь попрактикуемся в корнях. От примитивных заданий до продвинутых.